*** Distance à une courbe

Dans un repère orthonormal, on considère la parabole  \(\mathscr{P}\) d’équation \(y=x^2\) , le point \(\text{A}(1\ ;\ −1)\) et  \(\text{M}\) un point de  \(\mathscr{P}\) d’abscisse  \(x\) , où  \(x\) est un réel.
On cherche à savoir s'il existe un point  \(\text{M}\)  de   \(\mathscr{P}\) tel que la distance \(\text{AM}\) est  minimale.

1. Déterminer, pour tout réel \(x\) , la distance  \(\text{AM}\)  en fonction de \(x\) . On note cette distance \(f(x)\) .

2. Montrer que, pour tout réel  \(x\) ,  \(f'(x)=\displaystyle\frac{p(x)}{\text{AM}}\)  où \(p\)  est un polynôme de degré 3.
3. a. Étudier les variations de \(p\)  sur \(\mathbb{R}\) .
    b. Démontrer que l’équation \(p(x) = 0\) admet une unique solution  \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\) .
    c. Déduire des questions précédentes le signe de \(p(x)\) .

4. Répondre à la question initialement posée.

5. Démontrer que, si  \(\text{M}\)  est le point de   \(\mathscr{P}\) tel que la distance \(\text{AM}\)   est minimale, alors la droite  \((\text{AM})\)  est perpendiculaire à la tangente à  \(\mathscr{P}\) au point  \(\text{M}\) .